Kurzfassung
Diese Arbeit betrachtet das stochastische Kühlen ungebunchter Strahlen unter
dem Aspekt der Systemtheorie. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Untersuchung
der kollektiven Strahlbewegung, mit dem Ziel, Stabilitätsaussagen für einen
Strahl in einem aktiven Kühlsystem zu erhalten. Denn ein stochastisches
Kühlsystem bildet einen Rückkopplungskreis und ist daher vergleichbar mit
den Feedback-Systemen, die zur Dämpfung kollektiver Instabilitäten
eingesetzt werden. Da jedes System, das auf sich selbst zurückwirkt,
potentiell instabil ist, erfordern derartige Rückkopplungskreise eine
sorgfältige Analyse ihrer Stabilität.
Ausgehend von einer linearen Kühlwechselwirkung wird für das transversale
Kühlen eine selbstkonsistente Lösung der Strahlbewegung hergeleitet. Dazu
wird die kollektive Bewegung des Strahls in seine kohärenten Moden zerlegt.
Die Rechnung berücksichtigt die Lokalität von Detektor und Kicker und die
daraus resultierende zeitdiskrete Struktur in der Teilchendynamik. Aus der
selbstkonsistenten Lösung wird dann ein Stabilitätskriterium für jede Mode
des Strahls abgeleitet. Die erhaltenen Ausdrücke erlauben auch eine
Überlappung der Frequenzbänder im Spektrum des Strahls und liefern
demzufolge über den gesamten Frequenzbereich gültige Aussagen.
Nachdem so die Grenzen der Stabilität festgelegt worden sind, erfolgt eine
Beschreibung der Kühlung durch die Fokker-Planck-Gleichung. Die Berechnung
ihrer Drift- und Diffusionskoeffizienten wird im Frequenzbereich
durchgeführt. Auch sie betrachtet den Detektor und Kicker des Kühlsystems
als lokale Objekte und beinhaltet somit die Taktung in der
Kühlwechselwirkung. Die Fokker-Planck-Gleichung liefert eine statistische
Beschreibung, die kollektive Effekte nicht einbezieht und daher implizit die
Stabilität des Strahls voraussetzt. Die hieraus folgenden Vorhersagen
über die Kühlung sind folglich nur innerhalb der hergeleiteten
Stabilitätsgrenzen physikalisch sinnvoll. Daher wird am Ende geprüft, ob
die ermittelten Parameter, mit denen das Kühlsystem am effizientesten
arbeitet, verträglich sind mit der Stabilität des Strahls.
This thesis provides a description of unbunched beam stochastic cooling in the framework of control theory. The main interest in the investigation is concentrated on the beam stability in an active cooling system. A stochastic cooling system must be considered as a closed-loop, similar to the feedback systems used to damp collective instabilities. These systems, which are able to act upon themselves, are potentially unstable and therefore their stability must be carefully analysed. Assuming a linear transverse cooling interaction, the self-consistent solution for the beam motion is derived by means of a mode analysis of the collective beam motion. Furthermore the calculation treats the pick-up and kicker of the cooling system as localized objects which impose a discrete time structure on the dynamics of the beam particles. This solution then yields a criterion for the stability of each collective mode. The expressions which have been obtained also allow for overlapping frequency bands in the beam spectrum and thus are valid over the entire frequency range. Having established the boundaries of stability in this way, the Fokker-Planck equation is used to describe the cooling process. The drift and diffusion coefficients are derived in the frequency domain taking into account the localization of pick-up and kicker and the sampled nature of the cooling interaction. The Fokker-Planck equation provides a purely statistical description, which does not include collective effects and thus a stable beam must be assumed. Hence the predictions about the cooling process following from the Fokker-Planck equation only make physical sense within the boundaries of beam stability. Finally it is verified that the parameters of the cooling system which give the best cooling results are compatible with the stability of the beam.